Преобразование по правилу де моргана

На вводном уроке, посвящённом , мы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение.

Помимо нового теоретического, а точнее даже не теоретического – а общеобразовательного материала нас ожидают практические задания, и поэтому если вы зашли на данную страницу с поисковика и/или плохо ориентируетесь в материале, то, пожалуйста, пройдите по вышеуказанной ссылке и начните с предыдущей статьи. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинности , которые я настоятельно рекомендую переписать от руки.

НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу – чтобы они были перед глазами: – таблица НЕ; – таблица И; – таблица ИЛИ; – импликационная таблица; – таблица эквиваленции. Это очень важно. В принципе, их было бы удобно занумеровать «Таблица 1», «Таблица 2» и т.д., но я неоднократно

В логической логической и булевой алгебре законы Де Моргана — пара правил преобразования, которые являются оба действительными правилами вывода.

Их называют в честь , британского математика 19-го века. Правила позволяют выражение и просто друг с точки зрения друга через отрицание.Правила могут быть выражены на английском языке как:или неофициально как:также,Правила могут быть выражены на формальном языке с двумя суждениями P и Q как::и:где:

1. К — оператор отрицания (НЕ)

1. ⇔ — металогический символ, означающий, «может быть заменен в логическом доказательстве с»
2. оператор дизъюнкции (ИЛИ)

Применения правил включают упрощение логических в компьютерных программах и цифровом проектировании схем.

Законы Де Моргана — пример более общего понятия математической дуальности.Отрицание правила соединения может быть написано

» » » Задача №4421 Поиск задачи: В задачах 1–10, а) требуется, используя правила де Моргана, привести к ДНФ выражение, содержащее конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, и затем сократить ДНФ, если это возможно. Для этих задач есть точный алгоритм решения: “понижение” отрицания по правилам де Моргана до тех пор пока они не окажутся над одной переменной.

A10 (базовый уровень, время – 1 мин)

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре.

Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

— общее название логических законов, связывающих с помощью отрицания конъюнкцию («и») и дизъюн­кцию («или»). Названы именем англ. логика XIX в.

А. де Моргана. Один из этих законов можно выразить так: отрицание конъюнк­ции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. В терминах символики логической (р, q — некоторые высказыва­ния; & — конъюнкция; v — дизъюнкция; — отрицание, «невер­но, что»; = — эквивалентность, «если и только если») данные два закона представляются формулами: q), неверно, что р и q, если и только если неверно р и неверно q;

« либо.либо ». Она отличается от слабой тем, что ее составляющие исключает друг друга.

3) Импликативные, или условные суждения. 4) Эквивалентные, или равнозначные суждения.

Логические операции преобразования. Из этих законов можно выразить так: отрицание конъюнк­ции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.

Напр.:

«Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо»

. Другой закон: отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнк­ции отрицаний.

Напр.: «Неверно, что ученик знает

Теорема поглощения записывается в двух формах — дизъюнктивной и конъюнктивной, соответственно: А +АВ =А (16) А(А + В)=А (17) Докажем первую теорему. Вынесем за скобки букву А: А +АВ= А(1 + В) Согласно теореме (3) 1 + В = 1, следовательно А(1 + В) = А • 1 = А Чтобы доказать вторую теорему, раскроем скобки: А(А + В) = А • А + АВ = А + АВ Получилось выражение, только что доказанное.

Законы логики на уроках информатики и ИКТ

Законы названы в честь Августа Де Моргана (1806–1871), который представил формальную версию законов классической логике высказываний . На формулировку Де Моргана повлияла алгебраизация логики, предпринятая Джорджем Бульем , которая позже закрепила притязания Де Моргана на находку. Тем не менее подобное наблюдение было сделано Аристотелем и было известно греческим и средневековым логикам. Например, в XIV веке Вильгельм Оккам записал слова, которые возникли после зачитывания законов. Жан Буридан в своей книге Summulae de Dialectica также описывает правила преобразования, которые следуют линиям законов Де Моргана. Тем не менее, Де Моргану приписывают формулировку законов в терминах современной формальной логики и включение их в язык логики. Законы Де Моргана можно легко доказать, и они могут даже показаться тривиальными. Тем не менее, эти законы помогают делать обоснованные выводы в доказательствах и дедуктивных аргументах.

• Изоморфизм — оператор НЕ как изоморфизм между положительной и отрицательной логикой
• Список тем по булевой алгебре
• Список установленных идентичностей и отношений
• Позитивная логика

• Favourites List
• Audio Listining
• Color Mode
• Monthly New Updates

Моноиды — это абстракция композиции. В свою очередь, композиция — ключевое понятие в функциональном программировании. Именно поэтому моноиды встречаются здесь так часто и играют настолько важные роли. Про ценность и богатство применения моноидов говорилось и писалось много. Здесь мы перечислим основные их свойства, которые нам пригодятся в дальнейшем изложении.

А что если мы захотим представлять и рассчитывать цепи, содержащие не только сопротивления, но и ключи, конденсаторы, катушки и т.д.? И не только рассчитывать, но и изображать их или сохранять в файл? Для этого нам понадобится свободная алгебра.

Цепь будем представлять некоторой структурой данных, ничего не вычисляющей, но отражающей алгебраическую структуру цепи и образующей алгебру де Моргана:

data Circuit a = Zero / One / Elem a / Inv (Circuit a) / Par (Circuit a) (Circuit a) / Seq (Circuit a) (Circuit a) deriving (Show, Functor)

instance DeMorgan (Circuit a) where zero = Zero one = One (<->) = Seq () = Par inv = Inv

Инволюция или инверсия для элемента цепи не имеет определённого смысла, но для корректности и общности мы включили её в описание типа.

Самый первый и естественный гомоморфизм — это преобразование типа Circuit в произвольный тип, для которого определена алгебра де Моргана:

reduce :: DeMorgan a => Circuit a -> a reduce circ = case circ of Zero -> zero One -> one Elem b -> b Inv a -> inv (reduce a) Par a b -> reduce a reduce b Seq a b -> reduce a <-> reduce b

Функция reduce подобна функции fold, которая сворачивает список моноидов в произвольный моноид. Таким же образом, как от функции fold для функторов можно произвести функцию foldMap, можно образовать функцию reduceMap:

reduceMap :: DeMorgan b => (a -> b) -> Circuit a -> b reduceMap = reduce . fmap f

Эта функция позволяет явно указать какую именно алгебру де Моргана следует использовать при интерпретации цепи.

Согласитесь, обнаружение такой красивой симметрии в определениях функций свёртки для моноидов и нашей алгебры доставляет эстетическое удовольствие!

• Сейчас
• Вчера
• Неделя

• Сутки
• Неделя
• Месяц

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A Ù (B Ú C).

1) A Ú B Ú C 2) A Ú B Ú C 3) A Ù B Ù C 4) A Ù B Ù C

Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
(A Ú B)Ú (A Ú B)Ú A Ù B

1) B Ù A 2) A Ù B Ú B 3) A Ù B Ú A 4) A

Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):

Основные законы логической алгебры

Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги — контроль • Ценные бумаги — оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит
Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика
Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством

Бытовые услуги • Телекоммуникационные компании • Доставка готовых блюд • Организация и проведение праздников • Ремонт мобильных устройств • Ателье швейные • Химчистки одежды • Сервисные центры • Фотоуслуги • Праздничные агентства

Каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные или их отрицания. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная формы используются при проектировании элементов и узлов компьютера.

Поскольку при проектировании отдельных узлов компьютера необходимо решить проблему построения логических и электрических схем, имея лишь описание алгоритма его работы (виде таблицы истинности или логической формулы).

Воспользовавшись этими данными можно построить логическую, а затем электрическую или электронную схемы. Рассмотрим построение логической функции по известной таблице истинности.

x1x2x3F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 б) запись функции в СДНФ (см. правило записи). Наборам 011, 101, 110, 111 соответствуют конъюнкции

, поэтому функция будет записана в следующем виде: в) упрощение функции.

Функции, записанные в СДНФ, первоначально упрощаются по правилу склеивания.

Затем применяются другие правила и тождественные соотношения. В данной функции первые три конъюнкции являются соседними с чет­вертой.

Если необходимо изменить последовательность операций, то используются скобки. Операции в скобках выполняются в первую очередь.

Если одни скобки вложены в другие, то вначале выполняются операции во внутренних скобках.

Над логическими выражениями производят тождественные преобразования с использованием законов булевой алгебры. Две функции являются эквивалентными, если они принимают одинаковые значения на одних и тех же наборах входных переменных. Две эквивалентные функции, приравненные друг к другу, называются тождеством.

1. Переместительный закон (аналогично обычной алгебре): —для дизъюнкции —для конъюнкции От перемены мест логических слагаемых (сомножителей) их логическая сумма (логическое произведение) не меняется. 2. Сочетательный закон (аналогично обычной алгебре): —для дизъюнкции —для конъюнкции Можно различным образом группировать логические переменные при выполнении операции конъюнкции (дизъюнкции) при этом значение булевой переключательной функции не изменяется. 3.

admin 15.03.2018 15.03.2018Консультации Основные теоремы и положения алгебры логики Запишем алгоритм выполнения операций ИЛИ и И, расположив строки таблицы для операции И в обратном порядке — снизу вверх: Если в этих таблицах переменные заменить их инверсиями, а знаки дизъюнкции на знаки конъюнкции и наоборот, то алгоритмы меняются местами.

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений.

Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

Замечание 1 Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему.

По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема -это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Теорема поглощения записывается в двух формах — дизъюнктивной и

Докажем первую теорему. Вынесем за скобки букву А:

А +АВ= А(1 + В)

Согласно теореме (3) 1 + В = 1, следовательно

Чтобы доказать вторую теорему, раскроем скобки:

А(А + В) = А • А + АВ = А + АВ

Получилось выражение, только что доказанное.

Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы поглощения при

упрощении булевых формул.

Теорема утверждает, что логическое сложение и умножение ассоциативно, то есть при наличии в выражении лишь конъюнкции или лишь дизъюнкции можно опускать скобки:

\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)

\(А\&(В\&C)=(A\&В)\&С\)

Рассматриваемая теорема является правилом раскрытия скобок при конъюнкции и дизъюнкции.

Дистрибутивность логического сложения относительно логического умножения имеет значение – А или (В и С) есть тоже самое, что А или В и А или С – и записывается формулой:

\(A\cup(B\&C)=(A\cup B)\&(A\cup C)\)

Дистрибутивность логического умножения над логическим сложением читается как – А и (В или С) есть тоже самое, что А и В или А и С – и имеет вид:

\(А\&(B\cup C)=(A\;\&\;B)\cup(А\&C)\)

Рассмотрение данной формы невозможно без введения новых понятий.

• терм – компонент выражения;
• ранг терма – число переменных в терме;
• дизъюнктивный терм (макстерм) – логическое сложение произвольного количества попарно независимых переменных;
• конъюнктивный терм (минтерм) – логическое умножение произвольного количества попарно независимых переменных.

В аналитической записи используют две формы выражения:

• дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ)

\(f(a,b,c)=\overline ab\overline c+a\overline b+a\overline c+b\)

• конъюнктивную нормальную форму (КНФ)

Как доказать законы де Моргана

Данный вид записи функций алгебры логики позволяет представить ее компактно.

Вид для совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

\(f(a,b,c)=\vee(1,3,6,7)\)

Вид для совершенной конъюнктивной нормальной формы:

\(f(a,b,c)=\wedge(0,2,4,5)\)

Составление совершенных форм происходит по таблице истинности функции.

Правило для составления дизъюнкции конституент единицы: для каждой комбинации переменных, где функция истинна, записывается минтерм ранга n>, где переменные с нулевым значением в рассматриваемом наборе берутся с отрицанием. Все конъюнктивные термы объединяют дизъюнктивно. СДНФ для номеров N=1, 3, 6, 7:

\(f(a,b,c)=\overline a\overline bc+\overline abc+ab\overline c+abc\)

Правило составления конъюнкции конституент нуля по таблице истинности: для каждого набора переменных, где функция имеет ложное значение, записывают дизъюнктивный терм ранга n, в котором переменные с единичными значениями на данной комбинации берутся с отрицанием. Все макстермы объединяют конъюнктивно. СКНФ для номеров наборов N=0, 2, 4, 5:

\(f(a,b,c)=(a+b+c)(a+\overline b+c)(\overline a+b+c)(\overline a+b+\overline c)\)

Законы де Моргана применяются в таких важных областях, как дискретная математика, электротехника, физика и информатика; например, используются для оптимизации цифровых схем посредством замены одних логических элементов другими.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы , не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование , приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Для описания черно-белых изображений используются оттенки серого цвета, то есть при кодировании учитывается только яркость.

Она описывается одним числом, поэтому для кодирования одного пикселя требуется от 1 до 8 бит: чёрный цвет – 0, белый цвет – N = 2k-l, где k – число разрядов, которые отводятся для кодирования цвета. Например, при длине ячейки в 8 бит это 256-1 = 255.

Человеческий глаз в состоянии различить от 100 до 200 оттенков серого цвета, поэтому восьми разрядов для этого вполне хватает.

Память (устройство, предназначенное для хранения данных и команд) является важной частью компьютера. Можно сказать, что она его и определяет: если вычислительное устройство не имеет памяти, то оно уже не компьютер.

Элементарной единицей компьютерной памяти является бит. Поэтому требуется устройство, способное находиться в двух состояниях, т.е. хранить единицу или ноль.

Также это устройство должно уметь быстро переключаться из одного состояния в другое под внешним воздействием, что дает возможность изменять информацию.

Ну и наконец, устройство должно позволять определять его состояние, т.е. предоставлять во вне информацию о своем состоянии.

Устройством, способным запоминать, хранить и позволяющим считывать информацию, является триггер. Он был изобретен в начале XX века Бонч-Бруевичем.

К триггерным принято относить все устройства, имеющих два устойчивых состояния. В основе любого триггера находится кольцо из двух инверторов, показанное на рис.12.1. Общепринято это кольцо изображать в виде так называемой защелки, которая показана на рис.

Рис. Кольцо из двух инверторов

Разнообразие триггеров весьма велико. Наиболее простой из них так называемый RS-триггер, который собирается из двух вентилей. Обычно используют вентили ИЛИ-НЕ или И-НЕ.

Поделитесь с Вашими друзьями:

Огастес, или же Август де Морган жил в середине XIX века в Шотландии. Он был первым президентом Лондонского математического общества, но прославился в основном благодаря своим работам в сфере логики.

Ему принадлежит множество научных трудов. Среди них работы по теме пропозиционной логики и логики классов. А также, разумеется, формулирование всемирно известной формулы де Моргана, названной в его честь. В дополнение ко всему этому Август де Морган написал множество статей и книг, в том числе “Логика – это ничто”, которую, к сожалению, так и не перевели на русский язык.

Закон общей инверсии де моргана

На самом деле все довольно очевидно. Формула закона де Моргана записывается вот так:

Не (а и b) = (не а) или (не b)

Если переводить эту формулу на слова, то отсутствие и “a”, и “b” означает либо отсутствие “a”, либо отсутствие “b”. Если говорить на более простом языке, то если нет и “a”, и “b”, значит нет “a” или нет “b”.

Вторая формула выглядит уже несколько по-другому, хотя суть в общих чертах остается такой же.

(Не а) или (не b) = Не (а и b)

Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний.

• «Противоречащая противоположность дизъюнктивного суждения — конъюнктивное суждение, составленное из противоречащих противоположностей частей дизъюнктивного суждения (The contradictory opposite of a disjunctive proposition is a conjunctive proposition composed of the contradictories of the parts of the disjunctive proposition)» (Уильям Оккам, Summa Logicae).

На вводном уроке, посвящённом , мы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение.

Помимо нового теоретического, а точнее даже не теоретического – а общеобразовательного материала нас ожидают практические задания, и поэтому если вы зашли на данную страницу с поисковика и/или плохо ориентируетесь в материале, то, пожалуйста, пройдите по вышеуказанной ссылке и начните с предыдущей статьи. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинности , которые я настоятельно рекомендую переписать от руки.

НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу – чтобы они были перед глазами: – таблица НЕ; – таблица И; – таблица ИЛИ; – импликационная таблица; – таблица эквиваленции. Это очень важно. В принципе, их было бы удобно занумеровать «Таблица 1», «Таблица 2» и т.д., но я неоднократно

» » » Задача №4421 Поиск задачи: В задачах 1–10, а) требуется, используя правила де Моргана, привести к ДНФ выражение, содержащее конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, и затем сократить ДНФ, если это возможно. Для этих задач есть точный алгоритм решения: “понижение” отрицания по правилам де Моргана до тех пор пока они не окажутся над одной переменной.

После этого раскрываем скобки (используя естественные свойства конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний, а также поглощение) и затем сокращаем ДНФ по правилу Блейка.

Заметим, что часто в примерах приходится раскрывать скобки вида (х Ъу Ъ z ) ( x Ъ u ) .

Здесь необходимо учитывать, что дизъюнктные слагаемые, содержащие х, поглощаются слагаемым х, поэтому после раскрытия скобок получится выражение x Ъyu Ъ zu.

Пример 1. Привести выражение

к ДНФ, а затем сократить ее (если это возможно). Решение. “Понижаем” отрицания по правилу де Моргана.

Похожие записи: