Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Как умножать числа со степенями с разными знаками». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.
Содержание:
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .
- Естествознание
- Иконография
- Искусство
- История
- Литература
- Опыт
- Педагогика
- Портреты
- Русский язык
- Теология
- Филология
- Естествознание
- Иконография
- Искусство
- История
- Литература
- Опыт
- Педагогика
- Портреты
- Русский язык
- Теология
- Филология
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.
Число |
Вторая степень |
Третья степень |
1 |
1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
3 |
9 |
27 |
4 |
16 |
64 |
5 |
25 |
125 |
6 |
36 |
216 |
7 |
49 |
343 |
8 |
64 |
512 |
9 |
81 |
729 |
10 |
100 |
1000 |
Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.
(an)m = an· m
a — основание степени (не равное нулю)
m, n — показатели степени, натуральное число
Свойство 4: степень возведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b)n = an · bn
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a : b)n = an : bn
a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число
Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:
an · bn = (a · b)n , где
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
- a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
- 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
- 16a2 = 42·a2 = (4a)2
Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:
am · an= am+n, где
a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа
- 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
- 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048
Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:
an · bn = (a · b)n
Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:
- 33 · 52 = 27·25 = 675
В данной статье рассмотрим правила умножения отрицательных и положительных чисел.
Тогда правило умножения будет выглядеть следующим образом: a·(-b) =-(/a/·/b/). Если задано отрицательное число –aи положительное число b, справедливо будет равенство:(-a)·b=-(/a/·/b/). Правило перемножения чисел с различными знаками в полной мере соответствует свойствам действий с действительными числами.
Опираясь на них, возможно продемонстрировать, что для любых действительных положительных чисел a и b будет справедливой следующая цепочка равенств: a·(-b) +a·b=a·((-b)+ b)=a·0=0. Эта цепочка является доказательством того, что a·(- b)иa·b — противоположные числа, а значит a·(- b)=-(a·b). Из последнего равенства и следует справедливость указанного выше правила.
Отметим, что рассматриваемое правило перемножения чисел с различными знаками распространяется не только на действительные числа, но и рациональные и целые.
Такой вывод можно сделать, опираясь на то, что действия с рациональными и целыми числами имеют те же свойства, что мы использовали при доказательстве правила. По сути, умножение чисел с различными знаками по правилу, указанному выше, приводит к перемножению положительных чисел. Необходимо выполнить умножение отрицательного числа -5 на положительное число 8.
Решение Согласно правилу умножения чисел с различными знаками, перемножим модули заданных множителей.
/-5/= 5 и /8/ = 8, тогда перемножение натуральных чисел 5 и 8 даст в результате число 40.
Присвоим данному результату знак минус, получим: -40 Кратко решение можно записать так: (-5)·8 =-(5·8) =-40. Ответ: (-5)·8 =-40. Необходимо произвести умножение чисел 0,(2) и -214.
Решение Первым шагом переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную (первый множитель), затем выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби (второй множитель), применим далее правило умножения чисел с разными знаками и тогда получим: 0,2·-214= 29·-94= -29 ·94= -12 Ответ: 0,2·-214=-12.
Отдельно приведем пример умножения чисел с разными знаками, когда один из множителей или оба – иррациональные числа, которые записаны в виде корней, логарифмов и пр. В таких случаях ответ зачастую представляется в виде числового выражения.
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
То есть: (a * b)n = an * bn.
При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+». Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе. Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.
Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный? Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается: A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.
Если
, то
(правило извлечения корня из дроби). 3. Если
, то
(правило извлечения корня из корня).
4. Если
, то
(правило возведения корня в степень).
5. Если , то
, где
, т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число. 6. Если
, то
, т.
е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.
7.
(6)5 : (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Если в ответе получается число в отрицательной степени, то такое число преобразуется в обыкновенную дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе основание с полученным при разности показателем степени, только в положительном виде (со знаком плюс).
Пример 2. (2) 4 : (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Деление степеней может быть записано в другом виде, через знак дроби, а не как указано в этом шаге через знак «:». От этого принцип решения не меняется, все производится точно также, только запись будет вестись со знаком горизонтальной (или косой) дроби, вместо двоеточия.Пример 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.
2 При умножении одинаковых оснований, имеющих степени, производится сложение степеней.
Пример 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Если показатели степеней имеют разные знаки, то их сложение проводится согласно математическим законам.Пример 5.
Используя понятие , сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел. Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками. Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками. Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «−».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Запомнить правило знаков для умножения очень просто.
Подробнее читайте в . Материалы по теме: с друзьями:
(13 , рейтинг: 3,46 с 5)
Загрузка.
- Часто, нет времени самому учить
- Редко, когда самому выучить не реально
- Рубрики
- Не даю, все сам учу и сдаю
- Иногда, когда преподаватель требует
- Опрос пользователей Даете ли вы взятки преподавателям?
- Часто, нет времени самому учить
- Редко, когда самому выучить не реально
- Иногда, когда преподаватель требует
- Не даю, все сам учу и сдаю
Загрузка
Какие возможны действия со степенями?
Запомните!
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Примеры.
- Упростить выражение. b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
- Представить в виде степени. 615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
- Представить в виде степени. (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15
Важно!
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а) , так как .
Например, .
б)
Например,
в)
и т. д.
11.
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).
Теперь получим:
В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).
2.
Если , то (правило извлечения корня из дроби).
3. Если , то (правило извлечения корня из корня).
4.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:
.
Например, .
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:
.
Например, .
3.
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
Теорема 1.
Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).
Теперь получим:
В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n )= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
- Пример. Вычислить. 2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
- Пример.Вычислить. 0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
- В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216Пример возведения в степень десятичной дроби.4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.
Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.
Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.
Например:
- 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
- 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
- 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
- 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
- 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 — bn и h5 -d4 есть a3 — bn + h5 — d4.Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.
Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2 Второй множитель am -2x a3b2y Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2yРезультат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, an.am = am+n.
Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.
Первый множитель 4an b2y3 (b + h — y)n Второй множитель 2an b4y (b + h — y) Результат 8a2n b6y4 (b + h — y)n+1 Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h — y)n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)n+1Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.
Делимое 9a3y4 a2b + 3a2 d⋅(a — h + y)3 Делитель -3a3 a2 (a — h + y)3 Результат -3y4 b + 3 d Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.
Математически это выглядит следующим образом:
an = a * a * a * …an.
Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.
Например:
- 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
- 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.
Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».
Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь 1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 279 10 100 1000 Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?
Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:
A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.
И наоборот:
1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.
А если дробь?
(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.
Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.
Что нужно запомнить:
A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.
A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.
Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.
Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.
Умножение и деление чисел со степенями
Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.
С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.
Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.
Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:
- А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
- А˃1.
Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;
В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.
Например, показатель степени число π. Оно рациональное.
r1 – в этом случае равно 3;
r2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1π = 1.
А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.
Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.
Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а) , так как .
Например, .
б)
Например,
в)
и т. д.
11.
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:
При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:
При умножении количество степеней может быть любое.
Если , то (правило извлечения корня из корня).
4. Если , то (правило возведения корня в степень).
5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.
6.
Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т.
е. справа налево). Например:(правило умножения корней),
(правило деления корней),
.
8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .
9.
Важно Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.
Внимание Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а) , так как .
Например, .
б)
Например,
в)
и т. д.
11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:
1) ;
2) ;
3)
К началу страницы
Другие темы в блоке «Школьная математика»
Действия с дробями
Решение квадратных уравнений
Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение
Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Как умножать числа с разными степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac<5a^4><3a^2>$ Ответ: $\frac<5a^2><3>$.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac<6x^6><3x^5>$. Ответ: $\frac<2x><1>$ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
- Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17 - Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Записать частное в виде степени
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Вычислить.
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8 : t = 3 4
Ответ: t = 3 4 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
- Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
= 2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.
(a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.
(6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
(−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n )= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Как умножать с разными степенями. Правила вычитания и сложения степеней
Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.
В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.
Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.
В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.
Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.
Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.
- Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
- А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
- Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
- В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.
С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.
В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.
Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).
Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.
Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.
Ответ: 23·(42−12)=32.
Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.
Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.
Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
- Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17 - Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:
При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:
При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:
умножение степеней с разными знаками
На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.
Здесь a — основание степени,
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями .
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
am / an = am — n ,
где, m > n,
a ? 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(am )n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .